Ví dụ 2 – Trang 108 | TOÁN 8 – Tập 2 | Kết nối Tri thức

Cho $\triangle ABC$ có $AB = 4 \text{ cm}$, $AC = 3 \text{ cm}$, $BC = 5 \text{ cm}$. Kẻ đường cao $AH (H \in BC)$.
Chứng minh:
a) $AB^2 = BH \cdot BC; AC^2 = CH \cdot BC$
b) $AH^2 = BH \cdot CH$
c) Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AH, BH$. Chứng minh $\triangle ANB \sim \triangle CMA.$

Lý thuyết trọng tâm:

• Định lý Pytago đảo: Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì đó là tam giác vuông.
  • Kiểm tra: $4^2 + 3^2 = 5^2 (16 + 9 = 25) \Rightarrow \triangle ABC$ vuông tại $A$.
• Tam giác đồng dạng (Trường hợp g.g và c.g.c): Đây là chìa khóa để chứng minh các hệ thức.

Phương pháp giải:

• Câu a, b: Sử dụng các cặp tam giác đồng dạng được tạo bởi đường cao trong tam giác vuông:
  • $\triangle HBA \sim \triangle ABC (g.g)$
  • $\triangle HAC \sim \triangle ABC (g.g)$
  • $\triangle HBA \sim \triangle HAC (g.g)$
• Câu c: Sử dụng tính chất trung điểm để thiết lập tỉ số cạnh tương ứng và kết hợp với kết quả từ câu b để chứng minh theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

GIẢI